Matemática discreta Ejemplos

$z = {(1 + i)}^{7}$

Paso 1

Resta ${(1 + i)}^{7}$ de ambos lados de la ecuación.

$z - {(1 + i)}^{7} = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Usa el teorema del binomio.

$z - (1^{7} + 7 \cdot 1^{6} i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z - (1 + 7 \cdot 1^{6} i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z - (1 + 7 \cdot 1 i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot 1 i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.5

Multiplica $21$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i + 21 i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot - 1 + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.7

Multiplica $21$ por $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 \cdot 1 i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.9

Multiplica $35$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.10

Factoriza $i^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (i^{2} \cdot i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (- 1 \cdot i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.12

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (- i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.13

Multiplica $- 1$ por $35$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1 i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.15

Multiplica $35$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.16

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.2.16.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 {(i^{2})}^{2} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.16.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.16.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1 + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.17

Multiplica $35$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 \cdot 1 i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.19

Multiplica $21$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.20

Factoriza $i^{4}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 (i^{4} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.21

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.2.21.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 ({(i^{2})}^{2} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.21.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 ({(- 1)}^{2} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.21.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 (1 i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.22

Multiplica $i$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.23

Multiplica $7$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 i^{6} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.24

Factoriza $i^{4}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 (i^{4} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.25

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.2.25.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.25.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.25.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 (1 i^{2}) + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.26

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 i^{2} + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.27

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 \cdot - 1 + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.28

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{7}) = 0$

Paso 2.2.29

Reescribe $i^{7}$ como $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

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Paso 2.2.29.1

Factoriza $i^{4}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{4} i^{3}) = 0$

Paso 2.2.29.2

Factoriza $i^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{4} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Paso 2.2.30

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.2.30.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + {(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Paso 2.2.30.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + {(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Paso 2.2.30.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + 1 (i^{2} \cdot i)) = 0$

Paso 2.2.31

Multiplica $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{2} \cdot i) = 0$

Paso 2.2.32

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 - 1 \cdot i) = 0$

Paso 2.2.33

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 - i) = 0$

Paso 2.3

Resta $21$ de $1$ .

$z - (- 20 + 7 i - 35 i + 35 + 21 i - 7 - i) = 0$

Paso 2.4

Suma $- 20$ y $35$ .

$z - (15 + 7 i - 35 i + 21 i - 7 - i) = 0$

Paso 2.5

Resta $7$ de $15$ .

$z - (8 + 7 i - 35 i + 21 i - i) = 0$

Paso 2.6

Resta $35 i$ de $7 i$ .

$z - (8 - 28 i + 21 i - i) = 0$

Paso 2.7

Suma $- 28 i$ y $21 i$ .

$z - (8 - 7 i - i) = 0$

Paso 2.8

Resta $i$ de $- 7 i$ .

$z - (8 - 8 i) = 0$

Paso 2.9

Aplica la propiedad distributiva.

$z - 1 \cdot 8 - (- 8 i) = 0$

Paso 2.10

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$z - 8 - (- 8 i) = 0$

Paso 2.11

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$z - 8 + 8 i = 0$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$z + 8 i = 8$

Paso 3.2

Resta $8 i$ de ambos lados de la ecuación.

$z = 8 - 8 i$